Abstract FR:

Ce travail comporte quatre parties. Dans la première partie, on étudie l'anneau maximal de quotients et le complété par rapport à une fonction de rang d'un anneau régulier au sens de von Neumann ; on donne un critère d'égalité de ces deux anneaux et plus généralement, on étudie sur des exemples la comparabilité entre deux anneaux. On étudie ensuite la structure des modules projectifs de type fini sur un anneau régulier auto-injectif. On définit ainsi un monoide dont on obtient, dans de nombreux cas, une description complète faisant intervenir une décomposition plus fine que la décomposition usuelle d'un anneau de Baer en différents types. Le groupe de Grothendieck d'une limite inductive d'algèbres matricielles est un groupe ordonné limite inductive de groupes isomorphes à un produit fini de copies du groupe des entiers. Dans le troisième chapitre, on donne une caractérisation interne de ces groupes, ce qui permet de montrer en particulier, en admettant l'hypothèse du continu, que tout sous-groupe additif du groupe des nombres réels est le groupe de Grothendieck d'une telle algèbre. Dans la dernière partie, on étudie les anneaux de groupe semi-artiniens. On obtient divers résultats de transfert et dans le cas d'un corps K, on donne une caractérisation des groupes possédant une filtration décroissante de sous-groupes normaux, d'intersection nulle et à quotients successifs localement finis ou commutatifs, et tels que l'anneau du groupe soit semi-artinien.