Abstract EN:

Cette thèse porte sur des perturbations régulières et singulières des équations de fluides ayant un petit paramètre, avec des applications aux écoulements de fluides géophysiques. Dans le premier chapitre, on considère un système différentiel, dont la solution présente des oscillations rapides provenant du petit paramètre, et son approximation par une méthode de perturbation adaptée. On obtient le système approché qui ne contient pas d'oscillations et qui nous permet de récupérer la solution exacte jusqu'à un ordre d'approximation arbitraire. Ce résultat est aussi appliqué à un problème linéaire de contrôle optimal avec une fonction côut quadratique. On démontre alors quelques propriétés de régularité du système approché: en particulier, quand le paramètre est suffisament petit, les systèmes approchés sont aussi régulier que le système original. On arrive à ce résultat par une méthode algébrique directe, et également par une méthode de "shadowing". Si la solution subit à la fois des variations lentes et rapides, une méthode de perturbation singulière peut être utilisée pour obtenir des solutions approchées lentes, dont l'erreur d'approximation est exponentiellement petit par rapport au petit paramètre. Une application est donnée pour un système de fluide en rotation. Le dernier chapitre est consacré à l'étude de solutions stationnâmes d'un fluide parfait bidimensionel dont la frontière est perturbée. On peut regarder ce problème comme la solution au premier ordre de l'équation d'Euler dans une domaine dont la frontière subit une lente déformation. On présente des conditions suffisantes pour la persistence et la stabilité de tes écoulements stationnaires.