Abstract FR:

Dans cette thèse on détermine les fonctions sphériques définies sur l'espace des matrices hermitiennes infinies à coefficients réelles, complexes ou quaternions. Dans le chapitre 1, on rappelle quelques résultats qui sont démontres par J. Faraut et A. Koranyi et on en donne un développement d'une certaine intégrale orbitale en série de taylor sphérique. Le chapitre 2 est consacré pour traiter le comportement asymptotique d'une intégrale orbitale. La démonstration repose sur un résultat qui généralise un théorème de Poincaré sur la sphère unité. Le chapitre 3 généralise le chapitre 2. On détermine toutes les mesures ergdiques définies sur l'espace des matrices hermitiennes infinies à coefficients réelles, complexes ou quaternions et qui sont invariantes par l'action du groupe unitaire infini. Dans le chapitre 4 on rappelle le théorème de Bochner invarint et on en donne quelques compléments. Dans le chapitre 5, on donne une représentation de Lévy-Khinchine des fonctions de type négatif définies sur l'espace des matrices hermitiennes Hilbert-Schmidt de dimension infinie et qui sont invariantes par le groupe unitaire infini.