Abstract FR:

On étudie dans cette thèse certaines propriétés d’exemples classiques d’algèbres de Poisson, et de leurs déformations : propriété de finitude de la structure de Lie associée au crochet de Poisson, étude du groupe d’homologie en degré zéro lié à la structure de Poisson ou à la structure non commutative de la déformation, propriété de rationalité. Soit A une algèbre de Poisson, et G un groupe fini d’automorphismes de Poisson de A, on démontre dans les exemples suivants que la propriété de finitude comme algèbre de Lie passe aux invariants : lorsque G est un sous-groupe fini de SL(2,C) et A l’algèbre de Poisson symplectique C[x, y] ; lorsque G est le groupe de Weyl A2 ou B2, et A l’algèbre de Poisson symplectique C[h ⊕ h_] ; lorsque G est un sous-groupe fini de SL(2, Z), et A l’algèbre de Poisson multiplicative C[x±1, y±1] munie du crochet Poisson défini par {x, y} = xy. Cette propriété de finitude passe à la déformation A1(C)G de C[x, y]G par le gradué associé, et dans le cas multiplicatif, la déformation par les invariants du tore quantique Cq[x±1, y±1]G est également de type fini. Dans une autre partie, on effectue la recherche du centre de Poisson, et du groupe d’homologie de Poisson en degré 0 pour des structures de Poisson jacobiennes, qui apparaissent naturellement dans de nombreuse situations. Enfin, on s’intéresse à une version Poisson de la conjecture de Gelfand-Kirillov : l’existence d’un isomorphisme de Poisson entre les corps Frac(A) et Frac(AG). On vérifie cette propriété pour les surfaces de Klein, les invariants de l’algèbre symplectique en dimension 4 sous l’action du groupe de Weyl B2, et l’algèbre des invariants multiplicatifs sous l’action de h−idi