Optimisation différentiable en mécanique des fluides numérique
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Our contribution concerns the following three complementary domains : Automatic Differentiation, op- timal shape design for large systems, mesh adaption. In the chapter 1 of the part 1, we expose a method to compute gradients using Automatic Differentiation for a classical optimal shape design problem. We exply how to deduce an exact gradient based on an adjoint state without storing explicitly the Jacobian matrix. The reverse mode of the DA that we propose use much legs memory storage. In the chapter 2 of the part 2, we propose a SQP-like method to solve a class of optimization problems with equality constraints. We use a low cost iteration to solve the state and the adjoint. The new algorithm enables to solve simultaneously the optimality system. This one shot method combines efficiency and robustness. In the chapter 3 of the part 2, we study a new preconditioning strategy for optimal shape design. We build an additive multilevel preconditioning starting from the classical Bramble-Pasciak-Xu principle and from the agglomeration principle. We specify easily the gain of regularity of our preconditioning using only one real parameter. In the chapter 1 of the part 3, we study the problem of the best adapted mesh for a pure interpolation problem. We specify the mesh with a metric and we model the interpolation error. The optimality system solution gives a completely explicite expression of the optimal metric as a function of the function to adapt. In the chapter 2 of the part 3, we extend the method of the previous chapter to the problem of mesh adaption for P. D. E. Our method is based on a rigourous a priori analysis followed by a modelization. We obtain an optimal control formulation with an adjoint state.
Abstract FR:
Notre contribution concerne les trois domaines complémentaires suivants: la différentiation automatique de programmes, l'optimisation de formes pour de grands systèmes, l'adaptation de maillages. Dans le chapitre 1 de la partie 1, nous exposons une méthode de calcul de gradients par Différentiation Automatique pour un problème classique d'optimisation de formes. Nous expliquons comment déduire un gradient exact basé sur un état adjoint sans stocker explicitement le jacobien. Le mode adjoint de la DA que nous proposons utilise beaucoup moins d'espace mémoire. Dans le chapitre 2 de la partie 2, nous proposons une méthode de type SQP pour résoudre une classe de problèmes d'optimisation avec contraintes égalités. Nous utilisons une itération peu coûteuse pour résoudre l'état et l'adjoint. Le nouvel algorithme permet une résolution simultanée du système d'optimalité. Cette méthode one shot combine efficacité et robustesse. Dans le chapitre 3 de la partie 2, nous étudions une nouvelle stratégie de préconditionnement pour l'optimisation de formes. Nous construisons un préconditionnement multiniveau additif à partir du principe classique de Bramble-Pasciak-Xu et du principe d'agglomération. Nous spécifions aisément le gain en régularité de notre préconditionneur avec un seul paramètre réel. Dans le chapitre 1 de la partie 3, nous étudions le problème du meilleur maillage adapté pour de l'interpolation pure. Nous spécifions le maillage par une métrique et nous modélisons l'erreur d'interpolation. La résolution du système d'opti- malité donne une expression complètement explicite de la métrique optimale en fonction de la fonction à adapter. Dans le chapitre 2 de la partie 3, nous étendons la méthode du chapitre précédent au problème de l'adaptation de maillage pour EDP. Notre méthode repose sur une analyse a priori rigoureuse puis sur une modélisation. Il en résulte une formulation de type contrôle optimal avec état adjoint.