Abstract FR:

Soient une fonction mesurable sur r#n, et sa transformee de fourier. Une caracterisation de la transformee de fourier de est donnee par le theoreme de paley-wiener pour r#n. Une version faible de ce theoreme dit que si la fonction est mesurable, bornee et a support compact, sa transformee de fourier se prolonge en une fonction holomorphe sur c#n, ce qui permet de conclure que = 0 si est nulle sur un ensemble dont la mesure de plancherel est strictement positive. On generalise cette version du theoreme de paley-wiener aux groupes de lie nilpotents simplement connexes. Cette propriete est conjecturee par d. Scott et a. Sitaram. On demontre cette conjecture par recurrence sur la dimension de g. Dans le chapitre ii on generalise la propriete ci-dessus aux groupes de lie completement resolubles. La demonstration, egalement par recurrence sur la dimension de g, utilise la mesure de plancherel explicite donnee par b. N. Currey. Dans le chapitre iii on etudie des operateurs differentiels sur un espace homogene nilpotent. Soit = ind#g#k#f une representation induite d'un groupe de lie nilpotent connexe et simplement connexe g, ou #f designe un caractere unitaire d'un sous-groupe connexe k = (exp t) et tel que les multiplicites des irreductibles de g apparaissant dans la decomposition de soient finies. Soit d# l'algebre des operateurs differentiels associee a. On demontre que cette algebre est isomorphe a l'algebre des fonctions polynomiales k-invariantes definies sur o# = f + t# g#*, lorsque t est un ideal de g, algebre de lie de g.