Etude numérique de quelques équations aux dérivées partielles par la méthode discontinue de Galerkin
Institution:
Cergy-PontoiseDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis we are interested to solve numerically some equations in partial derivative by the discontinuous Galerkin method. Initially we present a new version of the DG method to solve the scalar conservation laws numerically. This method was tested on linear problems, in particular the transport equation then it is adapted to a nonlinear problem models being presented by the Burgers’equation. It leads to theoretically and numerically satisfying results, the schemes introduced in this method are convergeant. Several numerical tests are given and they were pilot of the reliability of this method. Encouraging results are obtained. In the second part, we present one DG formulation for the resolution of a model problem which derives from Maxwell’s equations. Theoretical results of existence and uniqueness of the discrete solution are proved, as well as the convergence of the formulation with respect to the mesh size of the discretization. The formulation introduced here is also tested numerically and confirm theoretical results obtained.
Abstract FR:
Dans cette thèse on s’intéresse à l’étude de quelques équations aux dérivées partielles par des schémas de Galerkin discontinue. On présente, dans un premier temps, une nouvelle version de la méthode DG pour la résolution des équations hyperboliques conservatives en une dimension. Cette méthode a été testée sur des problèmes linéaires, en particulier l’équation de transport, ainsi que sur un problème modèle non linéaire introduit par l’équation de Burgers. Elle conduit à des résultats théoriques et numériques satisfaisants, les schémas construits par cette méthode sont consistants, monotones pour le cas linéaire et T. V. D pour le cas non linéaire. Plusieurs tests numériques ont été donnés et justifient la fiabilité de cette méthode, ainsi les résultats obtenus sont encourageants. Dans un second temps, on présente une formulation DG pour la résolution d’un problème modèle qui dérive de l’électrostatique, des résultats théoriques d’existence et d’unicité de la solution discrète sont établis, ainsi que la convergence de la formulation en fonction du pas de discrétisation. Dans cette partie, la formulation à été testée numériquement et à confirmé les résultats théoriques obtenus.