Abstract FR:

Pour les algebres non commutatives, qui, dans l'esprit de la geometrie non commutative, jouent le role des algebres de fonctions sur les espaces classiques, plusieurs auteurs ont propose differentes voies de generalisation du calcul differentiel classique, basees sur des arguments algebriques. Ici, nous proposons une autre voie reposant, elle, sur la motivation initiale du calcul differentiel. Ce point de vue nous conduit a nous restreindre aux seules algebres de hopf et a generaliser a celles-ci les actions equilineaires de s groupes de lie sur les fibres vectoriels. Nous retrouvons ainsi, sous une forme intrinseque, un theoreme de woronowicz, mais surtout, nous mettons en evidence l'existence d'une representation non triviale de l'algebre de fonctions dans l'espace des sections invariantes a gauche, objet essentiel de ce type de structures. Puis, l'application de l'etude de ces structures aux calculs differentiels permet de suivre la voie de generalisation proposee et de relier en fait la non commutativite d'un calcul differentiel au mode d'approximation de la difference finie qu'il realise. Ce fait concerne aussi les algebres de fonctions pour lesquelles on peut dans cet esprit envisager des calculs differentiels non commutatifs. On definit aussi, pour les calculs differentiels retenus, la bigebre des operateurs differentiels invariants. Enfin, on s'interesse a l'iteration du processus de differentiation: deux modes d'iteration sont ici suivis, les resultats obtenus sont confrontes, et la question de la generalisation a ces calculs differentiels des identites de maurer-cartan permet de definir des calculs differentiels privilegies (pour la structure de groupe) sur les algebres de hopf