Abstract FR:

La geometrie affine symplectique consiste en l'etude des invariants des hypersurfaces de l'espace symplectique standard sous l'action du groupe affine symplectique. On peut considerer qu'il s'agit d'une generalisation aux dimensions superieures de la geometrie equiaffine des courbes dans le plan, en notant que dans ce cas le groupe symplectique et le groupe special lineaire coincident. Sachant qu'il existe sur une hypersurface d'un espace symplectique un champ de droites privilegie, on construit un champ transverse adapte (le vecteur normal (affine) symplectique) dont on donne une interpretation geometrique, et une serie d'autres invariants affines symplectiques qui caracterisent les hypersurfaces a transformations affines symplectiques pres. Le vecteur normal affine symplectique induit sur l'hypersurface une forme volume permettant de calculer son volume symplectique. Apres avoir traite une serie d'exemple dont les spheres symplectiques, on etudie l'existence eventuelle d'une inegalite isoperimetrique en geometrie affine symplectique, en s'interessant aux variations successives du volume symplectique. L'etude de la variation seconde pour les spheres symplectiques montre que tres certainement il n'y a pas d'inegalite isoperimetrique en geometrie affine symplectique.