Abstract FR:

Ce mémoire est consacré à l'étude d'un problème de shallow water en mer ouverte. Dans une première partie, nous exposons brièvement la modélisation du problème en formulation hauteur-vitesse. Puis, nous présentons un résultat d'existence de solutions faibles : nous montrons que si les données sont bien choisies, le problème variationnel associé admet des solutions. Pour démontrer ce théorème, nous donnons d'abord les estimations à priori vérifiées par les solutions, puis nous construisons des solutions approchées vérifiant ces majorations. Le point le plus délicat de cette démonstration est le passage à la limite. Les conditions aux limites envisagées sont de deux types. Des résultats d'existence sont énoncés dans le cas de conditions aux limites, utilisées habituellement en océanographie physique, portant sur la vitesse normale avec conditions de dissipation. Nous envisageons également le cas de conditions aux limites classiques de Dirichlet. Ensuite, à l'aide de résultats de régularité, nous montrons l'unicité des solutions. Ces résultats de régularité sont obtenus en utilisant une décomposition orthogonale particulière de l'espace de travail. Ces résultats permettent d'obtenir les majorations nécessaires à l'obtention de l'existence de solutions faibles d'un problème de shallow water bicouche. La méthode originale de résolution numérique est une méthode itérative combinant la méthode de Galerkin (associée à une base spéciale judicieusement choisie) et la méthode des caractéristiques. Dans un domaine à géométrie simplifiée, nous avons utilisé un cas analytique pour valider l'algorithme de résolution puis nous avons réalisé un calcul du champ de vitesse et de la hauteur d'eau lorsque le principal forcing extérieur est le vent.