Abstract FR:

Cette thèse a pour objet l'étude de problèmes de filtrage non linéaire avec bruits corrélés. Dans les trois premiers chapitres de ce travail, nous étudions certaines propriétés du filtre associé à un système corrélé à observation unidimensionnelle et coefficients non bornés. Dans le premier chapitre, sous certaines hypothèses sur les coefficients du système, nous prouvons la continuité par rapport aux trajectoires de l'observation, pour la norme de banach, du filtre associé à un tel système. Pour cela, nous définissons de manière formelle un filtre non normalisé, puis nous établissons une formule de Kallianpur-Striebel. Dans le second chapitre, nous prouvons, à l'aide du calcul des variations stochastique ou calcul de Malliavin, l'existence d'une densité régulière pour la loi d'une diffusion solution d'une équation différentielle stochastique à coefficients dépendants du temps. Ce résultat est ensuite appliqué à la preuve de l'existence d'une densité régulière pour le filtre, sous la condition d'hypoellipticité de Hormander. Dans le troisième chapitre, nous montrons que le filtre non normalisé défini dans le premier chapitre est solution d'une équation de Zakai pour laquelle des résultats d'existence et d'unicité des solutions ont été établis par ailleurs. Le quatrième chapitre de cette thèse est l'exposé d'un travail effectué en collaboration avec François Le Gland de l'Inria à Sophia Antipolis. Nous étudions un schéma de discrétisation en temps, pour l'équation de Zakai associée à un système corrélé à coefficients bornés, et nous calculons la vitesse de convergence de l'algorithme que nous présentons