Automorphismes et admissibilité dans les groupes de Coxeter et les monoïdes d'Artin-Tits
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is a contribution to the combinatorical study of Coxeter groups and Artin-Tits groups. In the first part, we complete the description of the automorphism group of a right angled Coxeter group, by studying the second subgroup that appears in the semi-direct product established by Tits (the first one is described by Mühlherr). We thus recover Radcliffe’s result on the rigidity of right angled Coxeter groups. In the second part, we introduce and study the notion of submonoids of an Artin-Tits monoid induced by Mühlherr’s admissible partition of the associated Coxeter graph. We show that such a submonoid is an Artin-Tits monoid, and that this notion generalizes and unifies the situations of submonoids of fixed elements of an Artin-Tits monoid under the action of graph automorphisms, and of Crisp-Godelle’s LCM-homomorphisms. We complete Mühlherr’s classification of admissible partitions of spherical Coxeter graphs ; this leads us to the classification of Crisp’s LCM-homomorphisms. In the third part, we study the Krammer-Paris’ representation of an Artin-Tits monoid of simply laced type without triangle. The submonoid of fixed elements of such a monoid under the action of graph automorphisms stabilizes the subspace of fixed points of the space of the representation under the action of those graph automorphisms. We use notions developped by Hée to show that the representation obtained this way is faithful. This generalizes, without any case-by-case enumeration, results established by Digne in the sperical case.
Abstract FR:
Cette thèse est une contribution à l’étude combinatoire des groupes de Coxeter et des groupes d’Artin-Tits. Dans la première partie, nous complétons la description du groupe des automorphismes d’un groupe de Coxeter à angles droits en étudiant le second des deux sous-groupes qui apparaissent dans la décomposition en produit semi-direct établie par Tits (le premier est décrit par Mühlherr). Nous retrouvons ainsi le résultat de Radcliffe sur la rigidité des groupes de Coxeter à angles droits. Dans la deuxième partie, nous introduisons et étudions la notion de sous-monoïde d’un monoïde d’Artin-Tits induit par une partition admissible du graphe de Coxeter, au sens de Mühlherr. Nous montrons qu’un tel sous-monoïde est un monoïde d’Artin-Tits, et que cette notion généralise et unifie les situations des sous-monoïdes des points fixes d’un monoïde d’Artin-Tits sous l’action d’automorphismes du graphe, et des LCM-homomorphismes de Crisp et Godelle. Nous achevons la classification des partitions admissibles des graphes de Coxeter sphériques, commencée par Mühlherr ; elle nous fournit la classification des LCM-homomorphismes de Crisp. Dans la troisième partie, nous étudions la représentation de Krammer-Paris d’un monoïde d’Artin-Tits de type simplement lacé et sans triangle. Le sous-monoïde des points fixes d’un tel monoïde sous l’action d’automorphismes du graphe stabilise le sous-espace des points fixes de l’espace de la représentation sous l’action de ces automorphismes. Nous utilisons des notions développées par Hée pour prouver que la représentation ainsi obtenue est fidèle. Cela généralise, en évitant tout cas par cas, des résultats établis par Digne dans les cas sphériques.