Abstract FR:

Dans ce travail on expose trois résultats concernant les algèbres de Lie libres. Soient K un corps commutatif et X un ensemble. On note Lib(X) l'algèbre non associative libre de X sur K et A(X) l'algèbre associative libre de X sur K. On note encore Jb(resp. Jg) l'idéal bilatère (resp. L'ideal à gauche) de Lib(X) engendré par les éléments Q(a)=aa et J(a,b,c)=a(bc)+b(ca)+c(ab) pour tout a,b,c dans Lib(X). Une algèbre de Lie libre, notée L(X), est le quotient Lib(X)/Jb. Le premier résultat est donné par le fait que Jb=Jg. L'algèbre A(X) est canoniquement isomorphe à l'algèbre enveloppante de L(X). On note A+(X) l'idéal d'augmentation de A(X). On considère l'idéal à gauche Rg de Lib(X) engendré par les éléments R(a,b,c)=a(bc)-(ab)c-b(ac) pour tout a,b,c dans Lib(X) et on établit le deuxième résultat. A savoir, il existe une structure de A(X)-module à gauche gradué sur Lib(X)/Rg telle que A+(X)=Lib(X)/Rg. Le troisième résultat consiste à démontrer que la cohomologie triple des algèbres de Lie coincide à la cohomologie usuelle des algèbres de Lie avec des modifications convenables.