Quelques problèmes de factorisation dans les anneaux de polynômes
Institution:
Aix-Marseille 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
We study non-uniqueness of factorizations in some polynomial rings. Firstly, we focuse on the elasticity ofA+XI[X] domains where I is an ideal of A: when A is factorial ; we compute it and show that it is not realized by a factorization ; when A is Dedekind, we give bounds involving I and the class group. Then, we consider rings of type V+XB[X] where V is a DVR with quotient field K and B is the closure of V in a finite extension of K ; beside general results, we compute elasticity (improving a result of Gonzalez), sets of lengths and generalized sets of lengths and we characterize asymptotical stability. Lastly, we consider an overring of a half-factorial domain and study which conditions the extension has to satisfy to keep the half-factorial property (answering questions of Coykendall) ; we then apply this analysis to A+XB[X] domains improving a result of Kim.
Abstract FR:
On étudie la non-unicité des factorisations dans des anneaux de polynômes. On s'intéresse tout d'abord à l'élasticité des anneaux A+XI[X] où 1 est un idéal de A : lorsque A est factoriel, on la calcule et on montre qu'elle n'est pas réalisée par une factorisation; lorsque A est de Dedekind, on l'encadre au moyen de constantes liées à 1 et au groupe des classes. On considère ensuite les anneaux V+XB[X] ou V est un DVR de corps K et B est la clôture de V dans une extension finie de K ; outre des résultats généraux, on en calcule l'élasticité (affinant un résultat de Gonzalez) on détermine les ensembles de Geroldinger et de Chapman-Smith et on caractérise les cas de stabilité asymptotique. Enfin, on considère un suranneau d'un anneau semi-factoriel et on étudie quelles conditions doit satisfaire l'extension pour que le suranneau soit lui-même semi-factoriel (répondant a des questions de Coykendall); on applique alors cette analyse au cas des anneaux A+XB[X] (améliorant un résultat de Kim).