Abstract FR:

On étudie les propriétés de fermeture d'un idéal de type fini dans certaines sous-algèbres A de C∞(U), où U est un ouvert de Rn. Si A= C∞(U), Tougeron et Merrien donnent une condition suffisante de fermeture et un théorème de Malgrange assure que tout idéal engendré par des fonctions réel-analytiques est fermé. On montre que ces résultats restent vrais si A est une intersection convenable de classes non-quasi-analytiques sur U ; par exemple, l'intersection des classes de Gevrey associées aux suites (p!a)pEn, a>O. Dans ce but, on établit, pour ces algèbres, des estimations fines sur la composition de fonctions et la division à la Hironaka de séries formelles. On construit aussi, pour tout idéal à générateurs réel-analytiques, une stratification telle qu'à chaque strate on puisse associer une famille finie de fonctions réel-analytiques sur U dont les jets de Taylor donnent une base standard en tout point de la strate.