Abstract FR:

Nous etablissons differentes generalisations des theoremes d'annulation connus pour la cohomologie de dolbeault des fibres vectoriels holomorphes amples sur les varietes complexes projectives. Nous suivons pour cela la demarche classique, qui consiste, via des arguments de suite spectrale, a se ramener a des fibres en droites sur des varietes de drapeaux du fibre vectoriel considere. La cohomologie des fibres homogenes sur les varietes de drapeaux intervient ainsi de maniere essentielle. La premiere partie de cette these mene donc une etude approfondie du cas de la grassmannienne, pour lequel le theoreme de bott et la formule de cauchy permettent des calculs explicites. Nous deduisons de nos resultats des theoremes d'annulation pour les puissances exterieures et symetriques d'un fibre ample, le premier prolongeant deux enonces de le potier, le second etendant le theoreme de griffiths en bidegre quelconque. Nous montrons au passage que la suite spectrale de borel-le potier ne degenere uniformement en aucun degre. Pour ce qui concerne la cohomologie des images d'un fibre ample par des representations plus generales du groupe lineaire, nous donnons un theoreme d'annulation, en degre maximal, pour une representation dont le poids dominant admet des composantes negatives. La suite spectrale de borel-le-potier nous permet d'en deduire une reponse partielle a une conjecture de jean-pierre demailly. Dans la derniere partie de cette these, nous appliquons les estimations l#2 de hormander a l'etude d'un probleme de prolongement, sous des hypotheses de positivite, des sections d'un fibre en droites definies sur une sous-variete d'une variete de stein ou projective, lorsque cette sous-variete est le lieu des zeros d'une section holomorphe d'un fibre hermitien