Inégalités de Harnack à la frontière pour des opérateurs paraboliques
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Let L be a parabolic operator on Rn+1. We compare, near the boundary, the behavior of positive L-solutions on a domain of Rn+1 satisfying a Lipschitz condition relatively to an adapted metric. We first establish in these domains a so-called weak boundary Harnack principle. In the second chapter, we establish a uniform Harnack principle for certain particular positive L-solutions. This principle then allow us to prove another strong boundary Harnack principle for certain pairs of positive L-solutions. Using these results, we characterize the Martin boundary for certain domais and we show that the positiveL-solutions in such domains admit non tangential limits except for a negligible set for harmonic measure. We thus generalize to L-operators results demonstrated by J. T. Kemper for the heat operator. Finally, in the last part, and for slightly more regular domains, we establish the equivalence between harmonic measure, adjoint harmonic measure and surface measure thus developing some of J. M. Wu and R. Kaufman results.
Abstract FR:
L étant un opérateur parabolique sur Rn+1, nous cherchons à comparer au voisinage de la frontière, le comportement des L-solutions positives sur un ouvert de Rn+1 vérifiant une condition de Lipschitz relativement à une métrique adaptée. Dans un premier temps, nous démontrons, pour ces ouverts, un principe de Harnack au bord que nous dirons faible. Au cours du second chapitre, nous établissons un prinicpe de Harnack uniforme pour certaines L-solutions positives particulières. Ce principe nous permet ensuite de démontrer, pour certains couples de L-solutions positives, un autre principe de Harnack à la frontière fort. Utilisant ces derniers résultats, nous caractérisons la frontière de Martin de certains ouverts et nous montrons que les L-solutions positives sur ces ouverts admettent des limites non tangentielles hors d'un ensemble négligeable pour la mesure harmonique. On généralise ainsi aux opératuers L des résultats démontrés par J. T. Kemper pour l'opérateur de la chaleur. Enfin, dans la dernière partie, nous établissons pour des ouverts un peu plus réguliers l'équivalence entre mesure harmonique, mesure harmonique adjointe et mesure de surface, précisant ainsi des travaux de J. M. Wu et R. Kaufman.