Abstract FR:

A chaque sous-variete de l'espace euclidien est associee son image de gauss. On etudie le probleme d'existence suivant : une sous-variete f de la variete grassmannienne g etant donnee, existe-t-il une sous-variete m de l'espace euclidien dont l'image de gauss coincide avec f ? on prouve des conditions necessaires generales ainsi que des conditions suffisantes particulieres pour qu'une sous-variete de la variete grassmannienne soit l'image de gauss d'une sous-variete de l'espace euclidien. Nos methodes sont fondees sur l'utilisation de sous-varietes speciales de la variete grassmannienne. On etudie en outre le meme probleme d'existence dans le cas spherique. On etablit des conditions necessaires et suffisantes pour qu'une sous-variete de la variete grassmannienne spherique (a la obata) soit l'image de gauss non-degeneree d'une sous-variete de la sphere. On prouve aussi qu'une sous-variete de la sphere est completement determinee par son image de gauss dans le cas ou cette derniere est non-degeneree. Les techniques que appliquons permettent de prouver une nouvelle inegalite integrale sur les courbures d'une courbe fermee de l'espace euclidien, qui est reliee intimement a l'inegalite classique de fenchel. Nous etudions aussi l'optimalite de cette nouvelle inegalite.