Abstract FR:

La thèse se compose de trois parties : d'une part de deux articles Desingularization of embedded excellent surfaces, Tohoku Math. Journ. 33 (1981) p. 25-33,Desingularization in dimension 2, Lecture Notes in Math. , 1101 (1984) p. 79-98 et d'autre part d'une partie inédite Forme normale d'une fonction de trois variables en caractéristique positive. C'est ce dernier travail que nous allons résumer ici. Soit f une fonction sur un schéma régulier X. Rappelons que, en caractéristique positive, une relation du genre f = ux1a(1xr a(r) =uxa, où u est une unité, ne dit rien sur f lorsque le multi-indice a est divisible par p car par exemple, en cherchant le lieu singulier de f=O, on est conduit par le critère Jacobien à étudier les dérivées de u sur lesquelles on ne sait rien. On cherche donc à réaliser une condition plus forte où le coefficient du monôme vaut 1 ; on dit que f est mise sous forme normale si pour tout X, il existe un revêtement fini étale V d'un voisinage U de dans X, tel que, sur v, on ait (*) f = gP + x1 a(1). X pa(p) où g E OV(V), où (x1,. . . ,xp) est une p-base de OV(V) et où l'un des a(i) n'est pas divisible par p. Notre énoncé dit que l'on peut réaliser (*) par une suite d'éclatements de X dont les centres sont réguliers, à croisements normaux avec le diviseur exceptionnel crée par les éclatements précédents et contenus dans l'ensemble des points où l'on n'a pas (*). L'énoncé obtenu a par exemple pour conséquence, la désingularisation d'un revêtement radiciel de hauteur 1. Les difficultés surmontées sont considérablement plus grandes qu'en caractéristique nulle. En fait, le problème analogue en car. 0 est la désingularisation d'un champ de vecteurs en dimension 3 obtenue récemment par F. Cano, par des méthodes voisines des nôtres.