Attracteurs pour des équations d'ondes et des équations de Schrödinger non linéairesÉtude de quelques équations de la mécanique des fluides
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Ln this thesis, we study the long time behavior of the solutions to nonlinear wave equations and nonlinear Schrëdinger equations. We address also some mathematical questions related to the equations of fluid mechanics. This work is divided into three chapters and two annexes. The first chapter is devoted to the study of the attractors of nonlinear hyperbolic equations (including damped wave equations) in the autonomous and nonautonomous (time-periodic) cases. The principal result concerns the dimension of these attractors, which is finite as we show. We also study regularity problems. The second chapter is about nonlinear Schrëdinger equations. Lt is divided into independent works. We consider two dissipation mechanisms for these equations and also a modelling problem. We show similar results concerning the long time behavior of these equations (e. G. That attractors are finite dimensional), in the dissipative case. Althought the techniques are totally different in each case due to the essential features of the structure of the equations and of the dissipative mechanisms. The third chapter is devoted to some mathematical problems related to the equations of mechanics. Lt is made of three independent parts. The first one concerns the regularity of the solutions of certain elliptic systems with divergence free condition. Ln the second, we establish sharp properties concerning the convergence to zero for the solutions of several equations of fluid mechanics. The third part is devoted to the study of the attractors for the penalized Navier-Stokes equations. Finally, in the annexe 1, we generalize a class of collective functional inequalities due to Lieb and Thirring. They allow numerous applications to the estimate of the dimension of attractors. The annexe 2 is devoted to a question of backward uniqueness for linear and nonlinear parabolic problems.
Abstract FR:
Dans cette thèse on étudie le comportement (lorsque le temps tend vers l'infini) des solutions d'équations d'ondes et d'équations de Schrëdinger non linéaires. On s'intérresse aussi à quelques questions mathématiques liées aux équations de la mécanique des fluides. Ce travail est formé de trois chapitres et de deux annexes. Le premier chapitre est entièrement consacré à l'étude des attracteurs pour des équations hyperboliques non linéaires (comprenant des équations d'ondes amorties) dans les cas autonome et non autonome (périodique en temps). Le résultat principal concerne la dimension des attracteurs dont on montre qu'elle est finie. On y étudie aussi des questions de régularité. Le second chapitre, formé de travaux indépendants, est relatif aux équations de Schrëdinger non linéaires. On s'intéresse à deux mécanismes de dissipation pour ces équations ainsi qu'à un problème de modélisation annexe. On établit des résultats similaires pour le comportement asymptotique des solutions de ces équations (attracteurs de dimension finie par exemple), dans les cas dissipatifs, mais par des techniques totalement différentes dans chaque cas en raison de différences essentielles dans la structure des équations et des mécanismes de dissipation. Le troisième chapitre, consacré à l'étude de quelques problèmes mathématiques liés aux équations de la mécanique, est formé de trois parties indépendantes. La première concerne la régularité des solutions de certains problèmes elliptiques avec condition de divergence nulle. Dans la seconde on établit des propriétés fines de convergence vers zéro pour des solutions de diverses équations de la mécanique des fluides. La troisième est consacrée aux attracteurs pour les équations de Navier-Stokes pénalisées. Enfin l'annexe 1 généralise une classe d'inégalités fonctionnelles collectives due à Lieb et Thirring, ce qui permet de nombreuses applications à l'estimation de la dimension des attracteurs. L'annexe 2 est consacrée à une question d'unicité rétrograde pour des problèmes paraboliques non linéaires et linéaires.