Analyse mathématique de la supraconductivité dans un domaine à coins : méthodes semi-classiques et numériques
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Superconducting theory, modelized by Ginzburg and Landau, motivates works about Schrodinger operator with magnetic field. The aim of this thesis is to analyze the geometry influence on the superconductivity emergence by extending results for regular domains to domains with corners. Semi-classical analysis leads to deal with three model operators: the Neumann realization of the Schrodinger operator with constant magnetic field in the plane, the half-plane and angular sectors. The study of the two first is well known and we concentrate on the third. After determination of the bottom of the essential spectrum, we show that the bottom of the spectrum is an eigenvalue for a sector with an acute angle. We give an explicit asymptotics of the lowest eigenvalue as the angle tends to 0 and clarify the localization of the ground state using Agmon's techniques. Then we illustrate and estimate the behavior of eigenvectors and eigenvalues thanks to numerical tools based on finite elements method. Due to the ground state localization, the discretized problem is badly conditioned; nevertheless the analysis of the operator properties and of the drawbacks of classical methods lead us to implement a robust and efficient algorithm computing the ground state. To improve numerical results, we construct a posteriori error estimates for this eigenvalue problem and use the mesh-refinement techniques to localize the eigenstate associated to general domains and to study the variation of the bottom of the spectrum according to the angle of the sector.
Abstract FR:
La théorie de la supraconductivité, modélisée par Ginzburg et Landau, motive les travaux relatifs à l'opérateur de Schrodinger avec champ magnétique. L'objet de cette thèse est d'analyser l'influence de la géométrie du domaine sur l'apparition de la supraconductivité en étendant les résultats existant pour des domaines réguliers à des domaines à coins. L'analyse semi-classique conduit à étudier trois opérateurs modèles: la réalisation de Neumann de l'opérateur de Schrodinger avec champ magnétique constant sur le plan, le demi-plan et les secteurs angulaires. L'étude des deux premiers est bien connue et nous nous concentrons sur le dernier. Après avoir déterminé le bas du spectre essentiel, nous montrons que le bas du spectre est une valeur propre pour un secteur d'angle aigu. Nous explicitons le développement limité de la plus petite valeur propre quand l'angle du secteur tend vers 0 et précisons la localisation de l'état fondamental grâce aux techniques d'Agmon. Nous illustrons et estimons ensuite le comportement des vecteurs et valeurs propres à l'aide d'outils numériques basés sur la méthode des éléments finis. La localisation de l'état fondamental rend le problème discret très mal conditionné mais l'analyse des propriétés de l'opérateur et des défauts des méthodes classiques permet malgré tout de mettre en œuvre un algorithme robuste et efficace calculant l'état fondamental. Afin d'améliorer les résultats numériques, nous construisons des estimateurs a posteriori pour ce problème aux valeurs propres et utilisons les techniques de raffinement de maillages pour localiser l'état propre dans des domaines généraux et étudier la variation du bas du spectre en fonction de l'angle du secteur.