Abstract FR:

Soient Å le sous-anneau de Q constitué des fractions irréductibles dont le dénominateur est une puissance de 2, n un entier positif, A(n) le produit de n copies de Å muni de la forme bilinéaire de matrice identité dans la base canonique, et A(n) le groupe d'automorphismes de A(n). L'étude de l'homologie de A(n) est motivée par une conjoncture de Quillen. Henn et Lannes ont obtenu des résultats pour n inférieur 16. Ma thèse consiste en une étude pour n grand. Les résultats principaux obtenus sont les suivants. Stabilité homologique : pour n supérieur 3k + 5, l'inclusion de A(n) dans A(n + 1) induit un isomorphisme en homologie entière. Comportement asymptotique : pour n tendant vers l'infini, la dimension du groupe d'homologie rationnelle en degré homologique virtuel tend vers l'infini. Les outils utilisés sont les suivants : réalisation géométrique d'une relation d'adjacence, formes quadratiques sur Å, suite spectrale d'homologie équivariante pour le premier résultat, et immeubles de Bruhat-Tits, formes quadratiques sur Z, formules de masse de Siegel pour le second.