Abstract FR:

En appliquant la theorie des fractions continues a l'etude de l'arithmetique des corps quadratiques reels, nous pouvons repondre aux questions suivantes: 1) nous donnons deux criteres de principalite des corps quadratiques reels, le premier ne faisant intervenir que le caractere du corps et des invariants lies aux developpements en fractions continues, le second etant un equivalent reel du theoreme de frobenius-rabinovitch (qui caracterisait les corps quadratiques imaginaires principaux) et faisant intervenir ces memes invariants. 2) nous determinons (explicitement sous l'hypothese de riemann) tous les corps quadratiques reels de calibre 1, 2, 3 ou 5. 3) nous donnons des criteres de trivialite du groupe des classes pour les corps de richaud-degert, ou nous appelons trivial un groupe des classes reduit a son sous-groupe des classes ambiges (i. E. Des classes de carre la classe principale). Ces criteres sont du meme type que ceux donnes au 1). 4) pour cette meme famille de corps nous donnons des minorations du nombre de classes d'ideaux lorsque nos criteres nous assurent que ces corps ne sont pas principaux. 5) nous donnons deux familles de corps quadratiques reels pour lesquelles nous pouvons specifier un peu plus les criteres du 1). Ces familles sont obtenues en recherchant les d congrus a 1 modulo 4 tels que l'entier du corps egal a (1+racine carree de d)/2 admette un developpement en fractions continues d'une des deux formes suivante: (g,a,a,i<-,a,2g-1) ou (g,a,b,a,b,i<-, a,b,i<-,a,b,a,2g-1). Par des etudes numeriques nous montrons qu'il est raisonnable de penser que ces deux familles contiennent une infinite de corps non trivialement non principaux, c'est-a-dire non principaux mais de 2-rang du groupe des classes egal a 0. Finalement, sous l'hypothese de riemann nous donnons les corps principaux de ces deux familles: ils sont en nombre fini