Abstract FR:

Cette these etudie les diffusions associees a des operateurs elliptiques degeneres. Dans une premiere partie (ecrite en collaboration avec d. Stroock et s. Kusuoka), on montre que la mesure harmonique, associee a un tel operateur sur un ouvert de r**(n) admet un noyau de poisson regulier lorsque le probleme de dirichlet est bien pose, que la frontiere est reguliere et non caracteristique et que la condition d'hypoellipticite de hoermander est verifiee sur la frontiere. Ensuite, on etablit un developpement de taylor stochastique i. E. En integrales stochastiques iterees de la diffusion associee a un tel operateur lorsque l'algebre de lie, engendree par les champs de vecteurs directeurs, est de dimension finie. Ce developpement exhibe la diffusion comme une fonctionnelle reguliere de la famille (infinie en general, finie dans le cas nilpotent) des integrales iterees du mouvement brownien. Puis on developpe pour les mesures associees a ces diffusions une methode de laplace et de la phase stationnaire. Le resultat de la methode de laplace est optimal dans les cas de hessiens non degeneres. Ce dernier resultat est ensuite applique a l'etude du comportement en temps petit du noyau de la chaleur hypoelliptique pour des points joints par une unique bicaracteristique minimisante sur laquelle ils sont non conjugues. Enfin au moyen des resultats de la seconde partie sur les developpements de taylor stochastique on obtient le developpement asymptotique du noyau de la chaleur sur la diagonale. Les methodes utilisees relevent de la theorie des grandes deviations et du calcul de malliavin