Frobenius et fibrés sur les courbes
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this work, we study the action induced by pullback under Frobenius on semi-stable vector bundles defined on a smooth projective curve over an algebraically closed field in some particular cases. Our motivation comes from the close relationship between these vector bundles and linear representations of the fundamental group of the given curve. We use the classical identification between P3 and the coarse moduli space of semistable rank 2 bundles with trivial determinant in the case of a genus 2 curve as well as the fact that pulling back under Frobenius is equivariant under the action of the group of 2-torsion line bundles over the given curve to derive its equations in small characteristics : on the one hand, we complete the study of the characteristic 2 case by Y. Laszlo and C. Pauly in dealing with the case of a supersingular curve and, on the other hand, for a general curve in characteristic p = 3; 5 or 7, we deduce these equations from the multiplication by p formulae over the elliptic curves arising as the Prym varieties associated to the 2-torsion line bundles over the curve.
Abstract FR:
Dans cette thèse, on étudie l'action de Frobenius par pull-back sur les fibrés vectoriels semi-stables sur une courbe projective lisse définie sur un corps algébriquement clos dans quelques cas particuliers, motivé par le lien entre ces fibrés et les représentations du groupe fondamental de la courbe considérée. On utilise l'identifiaction classique de P^3 et de l'espace de modules grossier des fibrés de rang 2 et de déterminant trivial sur une courbe de genre 2 et on exploite l'équivariance de Frobenius sous l'action du groupe des fibrés en droites d'ordre 2 sur la courbe considérée pour donner ses équations en petites caractéristiques : on complète d'une part l'étude récente de Laszlo et Pauly en caractéristique 2 en traitant le cas d'une courbe supersingulière et, d'autre part, pour une courbe générale en caractéristique p=3, 5 ou 7, on déduit ces équations des formules de multiplication par p sur une courbe elliptique en utilisant les variétés de Prym associées aux fibrés en droites d'ordre 2 sur la courbe.