Corps enveloppants des algèbres de Lie en dimension infinie et en caractéristique positive
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Abstract EN:
Let g be a Lie algebra over k, U its enveloping algebra, D the division ring of fractions of U. We study algebraic properties of the noncommutative division ring D in the following situations : either k is of characteristic 0 and g is infinite-dimensional, or k is of positive characteristic and g is finite-dimensional. Assume k is of characteristic 0. We first define the notion of level q transcendence degree for Poisson algebras starting from the notion of level q dimension for associative and Lie algebras as defined by V. Petrogradsky. We prove, under mild assumptions on g, that the transcendence degree of level q+1 of D is equal to the dimension of level q of g. We then turn to the study of Witt type Lie algebras as defined by R. Yu. Thus we construct infinite families of pairwise non-isomorphic division rings with given trancendence degree of level 3. We also study the question of centralisers in the enveloping skewfields of positive parts of Witt type Lie algebras. In particular, we prove that the first Weyl skewfield does not embed in such a division ring. Now assume k is of positive characteristic p. We study the specific cases of Lie algebras gl(n), sl(n) when p does not divide n, the Witt algebra W(1) and a tensor product of W(1) with an algebra of truncated polynomials in one variable. In all cases we prove that the enveloping skewfield is isomorphic to a Weyl skewfield. For the last two algebras, we also prove that the center of the enveloping algebra is a factorial ring, accordingly with a recent conjecture of A. Braun and C. Hajarnavis
Abstract FR:
Soient g une algèbre de Lie sur k, U son algèbre enveloppante, D le corps des fractions de U. On étudie les propriétés du corps gauche D dans les deux cas suivants : soit k est de caractéristique 0 et g est de dimension infinie, soit k est de caractéristique positive et g est de dimension finie. Supposons k de caractéristique 0. On définit d'abord la notion de degré de transcendance de niveau q pour les algèbres de Poisson en partant de la notion de dimension de niveau q définie par V. Pétrogradsky pour les algèbres associatives et les algèbres de Lie. On démontre, sous des hypothèses peu restrictives sur g, que le degré de transcendance de niveau q+1 de D est égal à la dimension de niveau q de g. On étudie ensuite les algèbres de Lie de type Witt définies par R. Yu. On construit alors des familles infinies de corps gauches deux à deux non isomorphes, mais de même degré de transcendance de niveau 3 donné. On étudie aussi la question des centralisateurs dans les corps enveloppants des parties positives des algèbres de type Witt. On démontre en particulier que le premier corps de Weyl ne se plonge pas dans ces derniers corps gauches. Supposons maintenant k de caractéristique positive p. On étudie les cas particuliers des algèbres de Lie gl(n), sl(n) lorsque p ne divise pas n, l'algèbre de Witt W(1) et un produit tensoriel de W(1) par une algèbre associative de polynômes tronqués à une variable. Dans tous les cas, on démontre que le corps enveloppant est isomorphe à un corps de Weyl. Pour les deux dernières algèbres de Lie, on démontre aussi que le centre de l'algèbre enveloppante est un anneau factoriel, en accord avec une conjecture récente de A. Braun et C. Hajarnavis