Abstract FR:

Lorsqu'on considere un groupe reductif g operant sur une variete projective x, le tout sur un corps algebriquement clos, la donnee d'un fibre en droites ample et g-linearise l sur x permet de definir l'ouvert x#s#s(l) (resp. X#s(l) de x des points semi-stables (resp. Stables). L'espace d'orbites x#s(l)/g existe et on peut definir un quotient y de x#s#s(l) par g qui est une variete projective contenant x#s(l)/g comme ouvert. Cette theorie a ete developpee, dans les annees 60, par d. Mumford pour construire des espaces de modules. L'objet de cette these est de decrire le quotient y lorsque g est le groupe sl(2,k), ou k est un corps algebriquement clos de caracteristique zero. Dans une partie preliminaire, nous redonnons des preuves d'une proposition de structure locale (due a d. Luna et f. Pauer) pour les varietes munies de l'action d'un tore et du theoreme de bialynicki-birula. Dans le premier chapitre, nous appliquons principalement ces resultats pour expliciter des transformations birationnelles entre varietes quotients par le tore k*. Ceci nous amene, dans le deuxieme chapitre, et par l'exhibition d'un modele local, a decrire le quotient y en construisant un morphisme dans y d'un quotient y' d'un ouvert de x par un sous-groupe de borel b de g = sl(2,k). Les fibres de ce morphisme au-dessus de x#s(l)/g sont isomorphes a la droite projective p#1#k. Lorsque la variete x est lisse, le quotient y' est relie a un fibre sur un espace de points fixes du tore standard de g par une suite de flips entre des ouverts de x quotientes par b. Enfin, dans le troisieme chapitre, nous utilisons la description de y pour determiner, lorsque tout point semi-stable de x est stable, les nombres de betti de la cohomologie rationnelle de y. Nous retrouvons ainsi, dans ce cas particulier, des resultats etablis initialement par e. Kirwan