Abstract FR:

Ce memoire traite de la geometrie des espaces homogenes. Voici quelques uns de nos resultats. Nous fournissons une description, en toute generalite, des structures d'espace de poisson homogene (eph) d'un groupe de lie-poisson quelconque (g, ). Ces structures se presentent comme une famille a un parametre obtenue par deformation d'une structure initiale. Le parametre verifie une equation de maurer-cartan et une condition de projectabilite. En particulier, nous determinons les eph du groupe de lie de heisenberg. Notre description des eph nous permet de prouver un important resultat enonce par v. G. Drinfeld et de fournir une methode de construction des sous-algebres lagrangiennes de l'algebre de lie double de (g, ). Nous decrivons aussi le feuilletage symplectique, des tenseurs de la structure d'eph. Nous prouvons que si est associe a une solution r de yang-baxter classique, le groupe de lie dual de (g, ) est muni d'une structure affine invariante a gauche. Dans le cas ou r est inversible, nous montrons que le double de (g, ) est aussi muni d'une structure affine invariante a gauche et est polynomial de degre au plus 2. D'apres m. Gromov, tout groupe de lie connexe non compact, de dimension impaire, possede une structure de contact. Nous fournissons une methode pour construire des groupes de lie, de centre discret, ayant des formes de contact invariantes a gauche et qui contiennent un sous-groupe symplectique de codimension 1. Entre autres exemples, nous construisons les groupes de lie ayant une forme de contact invariante a gauche et qui contiennent un sous-groupe de lie localement isomorphe au groupe des transformations affines. Nous montrons aussi que (a isomorphisme local pres) parmi les groupes de lie a metrique pseudo-riemannienne bi-invariante, seuls sl(2) et so(3, r) possedent des structures de contact invariantes a gauche.