Stabilité et instabilité des systèmes hamiltoniens presque-intégrables
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is devoted to various questions concerning the stability and instability of near-integrable Hamiltonian systems. In a first part, we give an informal introduction to Hamiltonian systems and to the perturbation theory of integrable Hamiltonian systems in the first chapter, and then, in the second chapter, we state our results. A second part is devoted to stability results. In the third chapter, we give a new proof of the exponential stability theorem of Nekhoroshev in the generic case for an analytic system. Our method uses only composition of periodic averaging, and therefore it avoids the small divisors problem. Then, in the fourth chapter, we take advantage of this approach to obtain new results of exponential and super-exponential stability in the neighbourhood of elliptic fixed points, invariant Lagrangian quasi-periodic tori and more generally invariant linearly stable quasi-periodic tori, which are isotropic and reducible. In the fifth chapter, for a quasi-convex integrable Hamiltonian system, we also prove a result of polynomial stability in the case where the system is only finitely differentiable. A third part lies between stability and instability. In the sixth chapter, for a quasi-convex system which is analytic or Gevrey, we improve the stability exponent by studying the geometry of simple resonances. Thus we obtain a time of stability which is closer to the known instability times, and which is certainly optimal. In the fourth part, we will construct examples of unstable Hamiltonian systems. First, in the seventh chapter, we give a new example of an \textit{a priori} unstable system which has a drifting orbit with an optimal time of instability. Our method uses the symbolic dynamics created by the transverse intersection between the stable and unstable manifolds of a normally hyperbolic invariant manifold. In the eighth and last chapter, we also construct an example of a near-integrable Hamiltonian system, for which the size of the perturbation goes to zero only when the number of degrees of freedom goes to infinity, and which has an orbit drifting in a polynomial time. In particular, this gives a new constraint on the threshold of validity for exponential stability results.
Abstract FR:
Cette thèse est consacrée à diverses questions concernant la stabilité et l'instabilité des systèmes hamiltoniens presque-intégrables. Dans une première partie, on donne une introduction informelle aux systèmes hamiltoniens et à la théorie des perturbations des systèmes hamiltoniens intégrables dans le premier chapitre, puis dans le second chapitre, on expose les résultats présentés dans cette thèse. Une seconde partie est consacrée à des résultats de stabilité. Dans le troisième chapitre, on donne une nouvelle preuve du théorème de stabilité exponentielle de Nekhoroshev dans le cas générique pour un système analytique. Elle n'utilise que des compositions de moyennisations périodiques, et elle évite donc le fameux problème des petits diviseurs. Dans le quatrième chapitre, on utilise cette approche pour en déduire des nouveaux résultats de stabilité exponentielle et super-exponentielle au voisinage des points fixes elliptiques, des tores lagrangiens invariants quasi-périodiques et plus généralement des tores invariants quasi-périodiques linéairement stables, isotropes et réductibles. Enfin, dans le cinquième chapitre, on établit un résultat de stabilité polynomiale si le système est seulement de différentiabilité finie, dans le cas où la partie intégrable est quasi-convexe. Dans une troisième partie, on étudie la frontière entre la stabilité et l'instabilité. Dans le sixième chapitre, pour un système quasi-convexe analytique ou de classe Gevrey, on améliore l'exposant de stabilité en étudiant la géométrie des résonances simples. On obtient ainsi un temps de stabilité encore plus proche des temps d'instabilité connus, et qui doit certainement être optimal. Enfin, dans une quatrième partie, on s'intéresse à la construction de certains exemples d'instabilité. Dans un septième chapitre, on construit un nouvel exemple d'un système \textit{a priori} instable qui possède une solution qui dérive avec un temps optimal. Notre approche est basée sur la dynamique symbolique engendrée par l'intersection transverse des variétés stable et instable d'une variété normalement hyperbolique. Dans le huitième et dernier chapitre, on construit également un exemple de système presque-intégrable, dont la taille de la perturbation ne tend vers zéro que lorsque le nombre de degrés de libertés tend vers l'infini, avec une solution qui dérive en temps polynomial. Cela donne en particulier de nouvelles contraintes sur le seuil de validité des résultats de stabilité exponentielle.