thesis

Théorie homotopique des DG-catégories

Defense date:

Jan. 1, 2007

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Institution:

Paris 7

Disciplines:

Mathematics

Authors:

Directors:

Abstract EN:

Differential graded categories (dg categories) enhance our understanding of triangulated categories appearing in representation theory and in (commutative and non-commutative) algebraic geometry. In this thesis we study them using the tools of Quillen's homotopical algebra and Heller-Grothendieck's derivators. Our main results are: (1) the category of dg categories admits a structure of model category whose weak equivalences are the Morita dg functors; (2) Quillen-Waldhausen's K-theory becomes corepresentable in the additive motivator of dg categories; (3) the internal Hom functor of the homotopy category of dg categories becomes a derived functor in the category of localization pairs of dg categories; (4) the category of alpha-compactly generated triangulated categories admits a Quillen enhancement; (5) every 2-Calabi-Yau category with a cluster tilting object is the stabilization of a 3-Calabi-Yau category endowed with a t structure.

Abstract FR:

L'étude des catégories différentielles graduées (dg-catégories) est motivée par des applications en théorie des représentations et en géométrie algébrique (commutative et non commutative). Dans ce mémoire, nous l'abordons à l'aide des outils de l'algèbre homotopique de Quillen et des dérivateurs de Heller-Grothendieck. Nous principaux résultats sont: (1) la catégorie des dg-catégories admet une structure de catégorie de modèles dont les équivalences faibles sont les dg-foncteurs de Monta; (2) la K-théorie de Quillen-Waldhausen devient corépresentable dans le motivateur additif des dg catégories; (3) le foncteur Hom interne de la catégorie homotopique des dg-catégories devient un foncteur dérivé dans la catégorie des paires de localisation de dg-catégories; (4) la catégorie des catégories triangulées à engendrement alpha-compact admet un enrichissement en une catégorie de modèles; (5) toute catégorie 2-Calabi-Yau avec objet amas-basculant est la stabilisation d'une catégorie 3-Calabi-Yau avec t-structure.