Abstract FR:

Nous étudions l’interpolation réelle des espaces de Sobolev et ses applications. Le mémoire de la thèse est constituée de deux parties. Dans la première partie , nous démontrons au premier chapitre que les espaces de Sobolev non homogènes $$ W {p}^{1}$$ (resp. Homogènes $$\dot{W}_{p}^{1}$$) sur les variétés Riemanniennes vérifiant une propriétéde doublement et une inégalité de Poincaré forment une échelle d’interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat à d’autres cadres géométriques. Dans un deuxième court chapitre, nous comparons différents espaces de Sobolev sur le cône Euclidien et nous regardons le lien de ces espaces avec l’interpolation. Nous montrons sur cet exemple que l’hypothèse de Poincaré n’est plus une condition nécessaire pour pouvoir interpoler les espaces de Sobolev. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous définissons les espaces de Sobolev non homogènes $$W_{p,V}^{1}$$ (resp. Homogènes $$\dot{W}_{p,V}^{1}$$ associé à un potentiel positif $$V$$ sur une variété Riemannienne. Nous démontrons que si la variété vérifie une propriété de doublement et une inégalité de Poincaré et si de plus $$V$$ est dans une classe de Hôlder inverse, ces espaces forment aussi une échelle d’interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat aux cas des groupes de Lie. Dans la deuxième partie, dans un premier chapitre en collaboration avec E. Russ, nous donnons des conditions suffisantes pour comparer sur un graphe $$\naba f\_{p}$$ et $$\(I-P)^{1/2}f\_{p}$$. Ces conditions sont différentes pour $$p2$$ et $$p2$$. Les preuves reposent sur des techniques récentes utilisés pour des opérateurs au delà de la classe des opérateurs de Calderon-Zygmund. Pour notre but, nous démontrons aussi des résultats d’interpolation des espaces de Sobolev et des inégalités de Littlewood-Paley. Dans le deuxième chapitre, nous démontrons en utilisant notre résultat d’interpolation, des inégalités de Gagliardo-nirenberg sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant le doublement, des inégalités de Poincaré et pseudo-Poincaré. Ce résultat s’applique aussi dans le cadre des groupes de Lie et des graphes.