Abstract FR:

Cette these, composee de deux parties, est consacree a l'etude d'une classe de problemes variationnels issus de l'analyse d'images et a quelques edp elliptiques degenerees de second ordre, liees a la reconstruction d'images bruitees et floues et a l'evolution de courbes. Dans la premiere partie, nous etudions un probleme de debruitage et de deconvolution par des methodes variationnelles. Le modele de reconstruction est pose comme un probleme de minimisation, dans lequel l'energie a minimiser depend de la solution u et de son gradient du, par un terme de regularisation. Nous etudions le probleme sur l'ensemble bv des fonctions a variation bornee, et nous donnons des conditions d'optimalite de la solution. Nous presentons deux methodes d'approximation de la solution dans les variables continues, ainsi qu'un resultat de regularite. A la fin de cette partie, nous decrivons deux methodes numeriques d'approximation. La seconde partie est consacree a l'etude de quelques edp nonlineaires, elliptiques ou paraboliques degenerees, dans le cadre de la theorie des solutions de viscosite, avec des applications en analyse d'images et a la convexification de fonctions, par des techniques d'evolution de courbes, via la mean curvature motion. Nous presentons aussi des resultats numeriques, pour des courbes et des surfaces. Enfin, nous comparons les algorithmes sur plusieurs resultats numeriques de reconstruction d'images