Problèmes aux valeurs propres non-linéaires
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NantesDisciplines:
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Abstract EN:
In this work we study the polynomial family of operators L(¸) = H0+¸H1+· · ·+¸m−1Hm−1+¸m, where the coefficients H0,H1, · · · ,Hm−1 are operators dened on the Hilbert space H and ¸ is a complex parameter. We are interested to study the spectrum of the family L(¸). The problem L(¸)u(x) = 0, is called a non-linear eigenvalue problem for m ¸ 2 (The number ¸0 2 C is called an eigenvalue of L(¸), if there exists u0 2 H, u0 6= 0 such that L(¸0)u0 = 0). We consider here a quadratic family (m = 2) and in particular we are interested in the case LP (¸) = −¢x + (P(x) − ¸)2, which is dened on the Hilbert space L2(Rn), where P is an elliptic positive polynomial of degree M ¸ 2. For this example results for existence of eigenvalues are known for n = 1 and n is even. The main goal of our work is to check the following conjecture, stated by Heler-Robert-Wang : For every dimension n, for every M ¸ 2, the spectrum of LP is non empty. We prouve this conjecture for the following cases : • n = 1, 3, for every polynomial P of degree M ¸ 2. • n = 5, for every convex polynomial P satisfying some technical conditions. • n = 7, for every convex polynomial P. This result extends to the case of quasi-homogeneous polynomial and quasi-elliptic, for example P(x, y) = x2 + y4, x 2 Rn1 , y 2 Rn2 , n1 + n2 = n, and n is even. We prove this results by computing the coefficients of a semi-classical trace formula and by using the theorem of Lidskii
Abstract FR:
Ce travail porte sur l'étude de familles polynomiales d'opérateurs de la forme L(¸) = H0 +¸H1 +· · ·+¸m−1Hm−1 +¸m, où les coefficients H0,H1, · · · ,Hm−1 sont des opérateurs dénis sur l'espace de Hilbert H et ¸ 2 C est un paramètre. On s'intéresse au spectre de la famille L(¸). Le problème L(¸)u(x) = 0 est un problème aux valeurs propres non-linéaires lorsque m ¸ 2 (Un nombre ¸0 2 C est appelé valeur propre de L(¸), s'il existe u0 2 H, u0 6= 0 tel que L(¸0)u0 = 0). Ici nous considérons des familles quadratiques (m = 2) et nous nous intéressons en particulier au cas LP (¸) = −¢x + (P(x) − ¸)2, dénie dans l'espace de Hilbert L2(Rn), où P est un polynôme elliptique et positif de degré M ¸ 2. Dans cet exemple les résultats connus d'existence de valeurs propres concernent les cas n = 1 et n paire. L'objectif principal de ce travail est de progresser vers la preuve de la conjecture suivante, formulée par Heler-Robert-Wang : Pour toute dimension n, pour tout M ¸ 2, le spectre de LP est non vide. Nous prouvons cette conjecture dans les cas suivants : • n = 1, 3, pour tout polynôme P de degré M ¸ 2. • n = 5, pour tout polynôme P convexe vérifiant de plus des conditions techniques. • n = 7, pour tout polynôme P convexe. Ce résultat s'étend à des polynômes quasi-homogènes et quasi-elliptiques comme par exemple P(x, y) = x2 + y4, x 2 Rn1 , y 2 Rn2 , n1 + n2 = n, et n paire. Nous prouvons ces résultats en calculant les coefficients d'une formule de trace semi-classique et en utilisant le théorème de Lidskii