Contrôle d’équations aux dérivées partielles non linéaires dispersives
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis, we study the controllability and the stabilization of some dispersive partial differential equations. We are first interested in the internal control. Thanks to some microlocal analysis methods and the use of Bourgain spaces, we prove stabilization and control in large time for the non linear Schrödinger equation on an interval and then on some manifolds of dimension 3. Moreover, we prove the controllability near trajectories, from which we deduce a second proof of global controllability. We then apply these methods to the Korteweg-de Vries equation on a periodic domain. We also study the Klein Gordon equation with a critical nonlinearity on some compact manifolds. Under some assumptions slightly stronger than the geometric control condition, we prove the stabilization and controllability in large time for high frequency data. The proof requires the statement of a profile decomposition on manifolds for which some geometric effects have to be analysed. In a last part, we study the bilinear control. Thanks to a regularizing effect, we establish the local controllability of the Schrödinger equation on an interval with a proof simpler than in the available litterature, allowing to reach the optimal spaces and in an arbitrary time. The method is robust enough to be extended to other situations: radial data on a ball, non linear Schrödinger equation and non linear wave equation on an interval.
Abstract FR:
Dans cette thèse, on étudie la contrôlabilité et la stabilisation de certaines équations aux dérivées partielles dispersives. On s'intéresse d'abord au problème du contrôle interne. Grâce à des méthodes d'analyse microlocale et à l'utilisation des espaces de Bourgain, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps de l'équation de Schrödinger non linéaire, d'abord sur un intervalle, puis sur des variétés de dimension 3. De plus, on prouve la contrôlabilité aux trajectoires, dont on déduit une deuxième preuve de la contrôlabilité globale. On applique ensuite ces méthodes à l'équation de Korteweg-de Vries en données périodiques. On étudie aussi l'équation de Klein-Gordon sur des variétés compactes avec une non-linéarité critique. Sous des hypothèses légèrement plus fortes que la condition de contrôle géométrique, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps pour des données haute fréquence. La preuve nécessite la mise en oeuvre d'une décomposition en profils sur des variétés pour laquelle des effets géométriques doivent être analysés. Dans une dernière partie, on étudie le contrôle bilinéaire. Grâce à un effet régularisant, on établit la contrôlabilité locale de l'équation de Schrödinger sur un intervalle avec une preuve plus simple que dans la littérature existante, permettant ainsi d'atteindre les espaces optimaux et en temps arbitraire. La méthode est assez robuste pour être étendue à d'autres situations: les données radiales sur la boule, l'équation de Schrödinger non linéaire et des ondes non linéaire sur un intervalle.