Abstract FR:

Dans le chapitre i, on donne une preuve complete et generalisee du theoreme de bruns : theoreme dans le probleme newtonien de n + 1 corps dans un espace euclidien r p avec n 2 et 1 p n + 1, les integrales premieres algebriques par rapport aux positions, aux impulsions et au temps t, sont des fonctions algebriques des integrales premieres classiques. La demonstration de ce theoreme (1887) pour n = 2 et p = 3, contenait de nombreuses erreurs, jamais vraiment corrigees. On sait depuis jacobi que, pour le potentiel en 1/r 2, il existe une integrale premiere supplementaire, independante des integrales classiques, et rationnelle ; quelles que soient les masses, le probleme lineaire de 3 corps et potentiel en 1/r 2 est donc rationnellement completement integrable. Calogero et moser ont etabli (paires de lax), que le probleme lineaire de n corps de masses egales et potentiel en 1/r 2 est rationnellement completement integrable. On traite au chapitre ii, en utilisant la methode de ziglin et ses developpements en theorie de galois differentielle (morales et ramis), les cas les plus simples laisses ouverts : theoreme les problemes de 4 corps sur la droite de masses (1, m, m, 1) avec m = 1, et 3 corps dans le plan de masses 1, 1, m avec m > 0, soumis a un potentiel en 1/r 2, ne sont pas completement meromorphiquement integrables. Dans le chapitre iii, on deduit de la non-integrabilite meromorphe pour une valeur des parametres (les masses) la non-integrabilite meromorphe dans les parametres. Theoreme pour n 4 et p = 1 ou n 3 et p 2, le probleme de n corps dans r p soumis au potentiel en 1/r 2 ne possede pas de systeme complet d'integrales premieres meromorphes dans les positions, les impulsions et les masses.