Abstract FR:

Il s'agit de prouver des résultats de transcendance relatifs au développement de Fourier à l'infini j de l'invariant modulaire j, dans les domaines complexe et ultramétrique, en n'utilisant que des propriétés modulaires. En 1995, en nous inspirant de la méthode de Malher, Guy Diaz, François Gramain, Georges Philibert et moi-même construisons une preuve de la conjecture de Mahler-Manin par cette approche nouvelle : si q est un nombre complexe ou p-adique non nul de valeur absolue strictement plus petite que 1, alors les nombres q et j(q) ne sont pas simultanément algébriques. Nous établissons des versions quantitatives de ce résultat dans les cas complexe et ultramétrique : mesure d'approximation simultanée de q et j(q), mesures de transcendance de q et de j(q) ; la dépendance en q des constantes est explicitée. Une adaptation de cette méthode donne des résultats de transcendance sur j et sa derivée (déjà obtenus par Daniel Bertrand par voie elliptique) : si q est un nombre complexe ou p-adique non nul de valeur absolue strictement plus petite que 1 et tel que j'(q) n'est pas nul, alors les nombres j(q) et qj'(q) ne sont pas simultanément algébriques. Après avoir construit un lemme de zéros pour les fonctions polynomiales en j et j', nous établissons une mesure d'approximation simultanée de j(q) et qj'(q) dans le cas ultramétrique, en explicitant la dépendance en q des constantes