Abstract FR:

Le but de ce travail est d'etudier l'entropie des enveloppes convexes dans un espace de banach ou de hilbert. Dans la partie i, on considere l'enveloppe convexe symetrique co(a) d'un sous-ensemble fini a d'un espace de banach ou de hilbert. On obtient des estimations des nombres d'entropie et des diametres de gel'fand de co(a) en fonction des nombres d'entropie de a. Comme application on donne une minoration du volume du polaire de co(a) en fonction des nombres d'entropie de a. Dans la partie ii, on s'interesse au cas ou le cardinal de a est infini, dans le but d'obtenir des versions des inegalites de dudley et de sudakov, qui refletent, de facon optimale sur des exemples precis, le comportement entropique de a. On donne aussi une generalisation d'un theoreme de ball et pajor concernant le cas ou les nombres d'entropie #n(a) decroissent comme une puissance negative de n. Ensuite, on presente une methode de dualite qui permet d'etudier les nombres d'entropie d'un operateur d'un espace de banach x a valeurs dans l'espace de fonctions continues c(k) sur un compact. Dans la partie iii, on considere sur r# la mesure de probabilite ##p qui est le produit infini des mesures de probabilite sur r a densite c#pexp(x#p). On etudie la relation entre l'entropie des operateurs bornes de l#p dans l#q et la ##p-mesure des petites boules. Comme application et grace aux techniques de la partie ii, on obtient une estimation de la ##p-mesure des petites boules associees a certains operateurs