Abstract FR:

La méthode de moindres-carrés (ainsi nommée par Legendre dès 1805) n'est autre, en langage mathématique moderne, que la minimisation d'une forme quadratique, ou plus généralement d'une famille de formes quadratiques, sur un espace vectoriel réel E sous contraintes convexes. L'optimalité de ses solutions (en divers sens) constitue une question de tout premier plan dans des domaines extrêmement variés, notamment en statistique. Jusqu'ici la manière quasi-exclusive d'aborder les principaux problèmes d'inférence statistique sur les modèles linéaires de régression (estimation de Gauss-Markov, exhaustivité et totalité, recherche d'estimateurs linéaires admissibles), est matricielle car elle est considérée comme immédiatement opérationnelle pour des raisons évidentes de calcul. Or, il est manifeste que tous ces problèmes ont un réel fondement géométrique que l'approche matricielle ne peut correctement prendre en compte car, notamment, les fondements structurels ne sont jamais précisés. Dans cette thèse, nous montrons comment la logique des moindres-carrés s'inscrit, en dimension finie, dans le cadre de la géométrie affine par le recours à des outils mathématiques performants (produits tensoriels, génération des cônes convexes, théorème de Hahn-Banach, et repose sur un théorème fondamental de projection. En effet, la forme quadratique à minimiser engendre dans l'espace sur lequel elle est définie une structure géométrique satisfaisante pour décrire avec précision les solutions. En statistique, les aspects fondamentaux de l'estimation linéaire sont alors mieux appréhendés et la plupart des résultats connus sous une approche matricielle sont décrits et étendus par des démonstrations appropriées à un cadre convenable. Nous apportons une large contribution à la théorie de l'admissibilité en approximation quadratique d'applications linéaires et par la, à l'étude de la structure de l'ensemble des estimateurs linéaires ou affines admissibles d'une application linéaire identifiable relativement à un modèle de Gauss-Markov