Représentations des formes intérieures de GL(N) : caractères simples et bêta-extensions
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is devoted to the construction of simple types for the reductive group GL(m, D), where m is a positive integer and D a finite dimensional division algebra whose center is a nonarchimedean local field. The underlying aim of this work is the explicit description of the set of irreducible smooth complex representations of GL(m, D) whose inertial support is reduced to one element. In a first stage, we produce, for each simple stratum of the matrix algebra M(m,D), a set of simple characters, related to those constructed by Bushnell and Kutzko in the split case by a transfert property. Those characters fulfill some remarkable properties, as an intertwining formula and a nondegeneracy property, allowing to build their Heisenberg representation defined on a certain compact open subgroup of GL(m, D). This construction is based on a unramified base change process, which allows us to make use of the results of Bushnell and Kutzko. In a second stage, when the underlying hereditary order of the stratum is principal, we build for each simple character corresponding to it an extension of its Heisenberg representation without reducing the intertwining (such an extension is called a beta-extension). This construction is based on the use of a system of coherence relations between the various representations built, and on a parabolic induction process giving beta-extensions in GL(m,D) from beta-extensions in GL(m/e,D), where e divides m.
Abstract FR:
Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la théorie des types dans les groupes réductifs sur un corps local non-archimédien. Etant donnés un tel corps F et une algèbre à division D de centre F et de degré réduit d, nous cherchons à construire des types simples pour le groupe GL(m, D), m entier supérieur ou égal à 1, forme intérieure du groupe linéaire GL(md, F). Nous franchissons deux étapes importantes dans cette construction. Dans un premier temps, nous produisons, pour toute strate simple de l'algèbre de matrices M(m, D), un ensemble de caractères simples, liés à ceux construits par Bushnell et Kutzko dans le cas déployé par un principe de transfert. Ces caractères simples jouissent d'un certain nombre de propriétés remarquables, notamment d'une formule d'entrelacement et d'une propriété de non-dégénérescence permettant d'associer à chacun d'eux sa représentation de Heisenberg, définie sur un certain sous-groupe ouvert compact de GL(m, D). Les techniques utilisées sont basées sur un procédé de montée-descente lié à un changement de base non ramifié. Dans un second temps, dans le cas où l'ordre héréditaire sous-jacent à la strate est principal, nous construisons pour chacun des caractères simples qui lui correspondent une bêta-extension de sa représentation de Heisenberg, c'est-à-dire un prolongement de même entrelacement. Cette construction est basée sur l'emploi d'un système de relations de cohérence entre les diverses représentations construites, ainsi que sur un procédé d'induction parabolique permettant d'obtenir des bêta-extensions dans GL(m, D) à partir de bêta-extensions dans GL(m/e, D), où e divise m.