Contributions à l'étude des idéaux de Bernstein-Sato d'un point de vue constructif
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Abstract EN:
The subject of this thesis is the study of the Bernstein-Sato polynomials associated with several analytic or polynomial functions. In 1987, C. Sabbah proved the existence of a non zero Bernstein-Sato polynomial in the analytic case. In the first part, we prove this result in a more elementary and constructive way by using the notion of Gröbner fan. In the algebraic case, this enable us to construct algorithmically a non zero rational Bernstein-Sato polynomial. In the second part, we focus on the Bernstein-Sato ideal associated with polynomials depending on parameters. We prove that the space of the parameters is stratified in such a way that on each stratum, the Bernstein-Sato ideal moves "continuously". In the algebraic case, we prove the existence of a non zero generic Bernstein-Sato polynomial on an irreducible affine variety. This improves and generalizes the results of H. Biosca on this subject. Finally, we prove a constructibility result about the Gröbner fan associated with an ideal depending on parameters. All these results are based on a general result which consists in studying the behaviour of a Gröbner basis associated with an ideal depending on parameters when we specialize it on an irreducible affine sub-variety of the space of the parameters. In the third and last part, we focus on more computational aspects. We include in a last chapter an article where we give an algorithm for computing some Bernstein-Sato ideals. Finally, in the annex, we implement the different algorithms that we can find in this thesis.
Abstract FR:
Le sujet de cette thèse est l'étude des polynômes de Bernstein-Sato associés à plusieurs fonctions analytiques ou polynomiales. En 1987, C. Sabbah démontra l'existence d'un polynôme de Bernstein-Sato non nul dans le cas analytique. Dans la première partie nous redémontrons ce résultat d'une manière plus élémentaire et plus constructive en utilisant la notion d'éventail de Gröbner. Dans le cas algébrique et pour n'importe quel corps de caractéristique nulle, nous montrons d'une manière effective qu'il existe un polynôme de Bernstein-Sato non nul à coefficients rationnels. Dans la seconde partie, nous nous intéressons au comportement de l'idéal de Bernstein--Sato associé à plusieurs polynômes dépendant de paramètres lorsque les paramètres bougent. Nous montrons que l'espace des paramètres est stratifié de telle sorte que sur chaque strate l'idéal de Bernstein-Sato bouge "continûment". Dans le cas al-gébrique, nous montrons, par des arguments similaires, l'existence d'un polynôme de Bernsteirn-Sato générique rationnel sur une variété affine irréductible améliorant et généralisant les résultats de H. Biosca sur ce sujet. Enfin nous montrons un ré-sultat de constructibilité de l'éventail de Gröbner associé à un idéal dépendant de paramètres. Tous ces résultats s'appuient sur un résultat général : le lemme de spécialisation. Il consiste en l'étude du comportement d'une base de Gröbner d'un idéal dépendant de paramètres lorsqu'on la spécialise le long d'une sous-variété affine ir-réductible de l'espace des paramètres. Dans la troisième et dernière partie, nous nous focalisons sur des aspects plus calculatoires. Nous incluons dans un dernier chapitre un article dans lequel nous donnons un algorithme de calcul de certains idéaux de Bernstein-Sato et nous terminons par une annexe dans laquelle nous implémentons les différents algorithmes rencontrés dans cette thèse à l'aide du programme kan / sm 1 développé par N. Takayama.