Grandes déviations, fluctuations et renormalisations critiques de diffusions en interaction
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Nous nous intéressons dans le présent travail au comportement asymptotique d'un système de diffusions en interaction suivant leur champ moyen, dans limite d'un grand nombre de particules. Celles-ci sont régies par un système d'équations différentielles stochastiques dont la. Solution, markovienne, converge pour la loi des grands nombres vers le processus non-linéaire de Mc Kean-Vlasov. Nous étudions en particulier les grandes déviations des mesures empiriques associées aux trajectoires des processus; puis, en développant une méthode de Laplace pour ces mesures, que nous généralisons au cadre abstrait des mesures de Gibbs sur un espace polonais quelconque, nous déduisons des théorèmes de propagation du chaos, de convergence du champ des fluctuations vers un champ gaussien lorsque le problème variationnel de Gibbs associé n'admet que des minima. Non dégénérés. Nous établissons, dans le cas d'existence d'un minimum dégénéré, la convergence d'une renormalisation critique vers une limite non gaussienne: le système exhibe alors une transition de phase. Nous démontrons que cet effet critique ne dépend que des conditions initiales du modèle et donnons des conditions suffisantes de non criticité, en définissant une norme adaptée sur l'espace des paramètres. Enfin, nous calculons explicitement, dans la généralité requise par notre problème, l'exposant des grandes déviations des lois empiriques conditionnelles de diffusions, sachant que celles-ci possèdent pour marginales un flot continu de mesures unidimensionnelles fixé.
Abstract FR:
In the present work, we are interested in the asymptotic behavior of a system of mean-field interacting diffusions in the large number particle limit. These are governed by a system of stochastic differential equations, whose solution is markovian and converges in the large number limit towards the non-linear Mc Kean-Vlasov process. We particularly study the empirical distributions of the trajectories associated with these processes. We use and adapt a Laplace method, which is well suited to the more general context of Gibbs measures on general Polish space; we deduce the propagation of chaos property, the convergence of the fluctuations field to some gaussian. Limit whenever the associated Gibbs variational problem admits no degenerate minimum H such a degenerate minimum exists, a phase transition appears: we thus establish the critical renormalization of the fluctuation field, whose limit is no longer gaussian. We show that this critical effect only depends on the initial conditions and boils down to some finite dimensional problem. We also give sufficient conditions based on parameter norm estimates for this critical effect not to happen. We at last compute in the generality that the preceding problem requires the rate function associated with the large deviations of empirical distributions of diffusions, conditionned to possess already prescribed marginals on some finite time interval.