Propriétés qualitatives d'ondes solitaires : solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires dispersives
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This PhD thesis is concerned with non-zero at infinity solutions of some nonlinear dispersive equations. We establish existence results for dark solitons of nonlinear Schrödinger equations and of system of two coupled nonlinear Schrödinger equations, in dimension 1. We study the linear stability of a special kind of dark solitons of nonlinear Schrödinger equations: the black solitons. We study the Cauchy problem for the linear and for the nonlinear Schrödinger equations on the Zhidkov spaces X^k(R^n). We also consider the same initial value problem on the affine space phi+H^1, where phi is a (non -zero at infinity) regular function with finite energy. We finally study the Cauchy problem for nonlinear dispersive equations which look like the Koiteweg-de Vries or the Benjamin-Ono equations, on the Zhidkov spaces X^s(R).
Abstract FR:
Cette thèse porte sur les solutions non nulles à l'infini de certaines équations non linéaires dispersives. On y établit des résultats d'existence de dark solitons pour des équations de Schrödinget non linéaires et pour des systèmes d'équations de Schrödinger couplées, en dimension 1. On étudie la stabilité linéaire d'un type particulier de dark solitons des équations de Schrödinger non linéaires en dimension 1: les black solitons. On établit des résultats d'existence globale pour le problème de Cauchy associé à l'équation de Schrödinger, linéaire puis non linéaire, dans les espaces de Zhidkov sur R^n. On considère aussi ce même problème de Cauchy dans l'espace affine phi+H^1, pour une fonction phi (non nulle à l'infini) régulière et d'énergie finie. On étudie le problème de Cauchy pour des équations non linéaires dispersives de type Korteweg-de Vries ou Benjamin-Ono, sur les espaces de Zhidkov X^s(R).