On well generated triangulated categories
Institution:
Paris 7Disciplines:
Abstract EN:
This thesis explores the relation between module categories over small differential graded (abbreviated DG) categories on the one hand. And vvell generated triangulated categories on the other In the first part, we construct the α-continuous derived category DαA of a homotopically ococomplete srmall DG category A, where a is a regular cardinal. The categories DαA turn out to be the prototypes of the α-compactly generated algebraic triangulated categories. Here algebraic means triangle equivalent to the stable category of a Frobenius category The main result says that algebraic well generated categories are precisely those which are localizations of the derived category of some srnall DG category. This result is strongly reminiscent of a 1964 theorem of Gabriel and Popescu, which characterized the Grothendieck abelian categories as localizations of categories of modules over rings. It also gives a positive answer to Drinfeld's question whether all well generated categories arise as localizations of compactly generated ones, for the class of algebraic triangulated categories. In the second part, we study the categories DA and DαA using the projective Quillen model category structure present on the category of DG modules We introduce the subcategory of homotopically α-compact cofibrant DG modules and we show that its homotopy category is precisely the α-continuous derived category DαA. This enables us to give a second, completely different proof of the key technical result of the first part.
Abstract FR:
Cette thèse explore la relation entre les calégories de modules sur les catégories différentielles graduées (abrégées DG) petites, d'une part, et tes catégories triangulées bien engendrées d'autre part. Dans la première partie, on construit la catégorie dérivée α-continue DαA d'une catégorie DG α-cocomplète petite A; où α est un cardinal régulier Les catégories DαA s'avèrent être les prototypes des catégories triangulées algébriques à engendrement α-compact. On entend par algébrique, équivalente, en tant que catégorie triangulée à la catégorie stable d'une catégorie de Frobenius, Le résultat principal établit que les catégories algébriques bien engendrées sont précisément celles qui sont des localisations de la catégorie dérivée d'une catégorie DG petite. Ce résultat rappelle beaucoup un théorème de Gabriel et Popescu de 1964, qui caractérise les catégories abéliennes de Grothendieck comme des localisations de catégories de modules suides anneaux II donne aussi une réponse positive à une question de Drinfeid qui demandait si toutes les catégories triangulées bien engendrées sont des localisations de catégories triangulées à engendrement compact, pour la classe des catégories triangulées algébriques. Dans la deuxième partie, on étudie les catégories DA et DαA en utilisant la structure projective de catégories de modèles de Quillen présente sur la catégorie des DG modules. On introduit la sous-catégorie des DG modules cofibrants homotopiquement α-compacts et on montre que sa catégorie homotopique est précisément la catégorie dérivée α-continue DαA Cela nous permet de donner une deuxième preuve, complètement différente du résultat-clef de la première partie.