Abstract FR:

A tout groupe localement compact, g. Kasparov a associe un anneau commutatif a unite, appele anneau de representation du groupe. La these etudie cet anneau pour les groupes de lorentz, plus precisement ceux qui possedent des series discretes. On etablit un isomorphisme entre l'anneau de representation du groupe et celui de l'un de ses sous-groupes compacts maximaux. On construit pour cela un module de fredholm representant un idempotent de l'anneau, et ensuite une homotopie dans l'anneau, reliant cet element a l'element unite de l'anneau. Enfin, on a recours a une propriete generale de l'anneau, due a p. Julg et g. Kasparov, pour obtenir l'isomorphisme desire. Le module de fredholm est construit en utilisant la theorie des operateurs pseudodifferentiels d'une part, la theorie des representations de l'autre. L'homotopie est realisee apres avoir reformule les operateurs d'entrelacement definissant les series complementaires du groupe, au moyen de l'analyse spectrale du laplacien sur la sphere