Abstract FR:

L'objet principal de cette thèse est l'étude locale de structures sous-riemanniennes : étude des petites sphères, du front d'onde, du lieu conjugué et du lieu de coupure. La première partie de cette thèse concerne les structures sous-riemanniennes de quasi-contact. On construit tout d'abord, dans le cas de quasi-contact générique de dimension quelconque, des coordonnées normales, un champ de bases orthonormées canonique et une famille de champs de tenseurs qui sont les analogues d'objets riemanniens classiques. On étudie ensuite, dans le cas de la dimension quatre, l'application exponentielle et nous présentons sa singularité locale qui est un arrangement de singularités lagrangiennes classiques. La seconde partie, en collaboration avec A. Agrachev, J. -P. Gauthier et V. Zakalyukin, traite du cas de contact en dimension trois. La première partie de l'article consiste en la mise en évidence de modules à l'origine des caustiques génériques, dont le premier a une interprétation géométrique simple. La deuxième partie de l'article montre au contraire un résultat de stabilité. Si on considère le front d'onde étendu, où le temps est reparamétré d'une certaine façon, on obtient un objet de dimension trois qui a à nouveau une structure naturelle de front d'onde. La projection de ses singularités n'est autre que le lieu conjugué. On montre que ce grand front d'onde est Legendre-stable.