Abstract FR:

Tout d'abord nous etudions des proprietes geometriques de sections d'un corps convexe arbitraire de r#n par un sous-espace affine de dimension k. On s'interesse particulierement a minimiser la distance de banach mazur entre la boule euclidienne et une telle section. La demarche consiste d'une part a perturber le convexe afin que celui-ci ait peu de points de contact avec son ellipsoide de john et d'autre part a utiliser des methodes probabilistes sur les operateurs gaussiens. Ensuite, nous etudions la geometrie du convexe lorsque la structure euclidienne sur r#n est definie par l'ellipsoide de volume maximal contenu dans le convexe et centre en son centre de gravite. On obtient une estimation d'un parametre associe au convexe et relie a l'etude du diametre de ses sections. La derniere partie est consacree a l'etude d'inegalites de geometrie integrale du type de celle de kahane khinchine. On etablit un phenomene de concentration pour des mesures 1/-concaves et ce resultat permet de comparer le moment d'ordre q d'une famille de vecteurs aleatoires log-concaves avec le moment d'ordre 1 pour tout q > -1