Arguments externes et mesures invariantes pour les polynômes quadratiques
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
We consider Pc' = Z2̂ + c and denote the Mandelbrot set by M = {c Œ C: the orbit of 0 by Pc is bounded }. There is a correspondence between the boundary of the main cardioid W0 of the Mandelbrot set M and (M and R). It is induced by the map A(t) = 1/2 + t/4 defined on the set of external arguments of W0. Let c be a point of the boundary of the principal cardioid with internal argument γ with 0 <γ < 1/2. If γ is rational then has two external arguments t+ and t-. We show that the external ray RM(A(t+)) lands at a parabolic point c+ and RM(A(t-)) lands at a Misiurewicz point c- which is not just c+ tuned by -2. We show that every c+ is determined by a symmetric Hub- bard tree. If γ is irrational then has a unique external argument t and we show that A(t) is a an external argument for some points c' Œ (M and R). We give a combinatorical description of the points thus obtained and in this case we show that the critical orbit of Pc' is semi-conjugate to the rotation Rγ and the critical orbit is strongly recurrent. Thus, Pc' does not satisfy the CE condition. We obtain an asymmetrical diophantine condition implying the existence of an absolutely continuous invariant measure (a. C. I. M. ) for Pc'. If [a1, a2,. . ] denotes the continuous fraction expansion of γ then we prove that if the sequence {a(2n+1)} is bounded then Pc' admits an a. C. I. M. . We also show an arithmetic condition on γ preventing the existence of an a. C. I. M.
Abstract FR:
On considère Pc(Z) = Z2̂ + c et M l'ensemble de Mandelbrot, M = {c Œ C: l'orbite de 0 par Pc est bornée}. Il existe une correspondance entre les points du bord de la cardioi͏̈de principale W0 de M et un sous-ensemble de M et R. Celle-ci est induite par l'application A(t) = 1/2 + t/4 qui agit sur les arguments externes de Wo. Soit c un point du bord de la cardioi͏̈de principale d'argument interne γ avec 0 < γ < 1/2. Si est rationnel alors c a deux arguments externes t+ et t-. On montre que le rayon externe RM(A(t+)) aboutit en un point parabolique c+ Œ M et R et que RM(A(t-)) aboutit en un point de Misiurewicz qui n'est pas le modulé par le centre de la composante qui contient c+ et -2. On montre que tout point c+ est déterminé par un arbre de Hubbard bien distribué. Si γ est irrationnel alors c ðW0 a un unique argument externe t et on montre que A(t) est un argument externe d'un point c' Œ M et R. On donne une description combinatoire des points c' ainsi obtenus et dans ce cas on montre que l'orbite critique de Pc' est semiconjuguée à la rotation Rγ et l'orbite critique est fortement recurrente, par conséquent Pc' ne satisfait pas la condition de CE. On obtient une condition diophantienne assymétrique qui implique que Pc' admet une mesure invariante absolument continue (m. I. A. C. ). On prouve que si [a1, a2,. . . ] est la suite des fractions continues de γ alors il suffit que la suite {a(2n+1)} soit bornée pour que Pc' admette une m. I. A. C. . On montre aussi une condition arithmétique sur γ qui implique la non existence d'une m. I. A. C. .