Caractère d’isogénie et borne uniforme pour les homothéties
Institution:
Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008)Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Fix a number field K different from Q and Galois over Q, an elliptic curve E defined over K and a prime number p ; assume the elliptic curve E has an isogeny of prime degree p defined over K. In this thesis, we obtain an explicit and effective formula for a real number C(K), depending only on the number field K, such that if p is larger than C(K), then the image of the Galois representation attached to the p-torsion points of E contains the homotheties that are twelfth powers. This result completes previous work of Eckstein. We use the method of Momose to study the character given by the action of the absolute Galois group of K on the isogeny subgroup of order p ("isogeny character"). For p larger than C(K), we obtain two precise possible forms for the isogeny character.
Abstract FR:
L'objet de cette thèse est l'obtention de résultats uniformes sur l'image des représentations galoisiennes associées aux points de torsion des courbes elliptiques possédant une isogénie de degré premier. Le cadre se compose d'un corps de nombres K différent de Q et galoisien sur Q, d'une courbe elliptique E définie sur K et d'un nombre premier p ; on suppose que la courbe E possède une isogénie de degré p définie sur K. On détermine explicitement un nombre réel C(K), ne dépendant que du corps de nombres K, tel que si p est choisi strictement supérieur à C(K), alors l'image de la représentation galoisienne associée aux points de p-torsion de E contient les homothéties qui sont des puissances douzièmes. Ce résultat complète des travaux précédents d'Eckstein sur les homothéties dans l'image des représentations galoisiennes associées aux points de torsion des courbes elliptiques. La méthode employée est celle de Momose pour l'étude du caractère donnant l'action du groupe de Galois absolu de K sur le sous-groupe d'isogénie d'ordre p ("caractère d'isogénie"). Pour p strictement plus grand que C(K), on obtient deux formes possibles précises pour ce caractère d'isogénie : soit sa puissance douzième est égale au caractère cyclotomique à la puissance 6 ; soit il lui est naturellement associé un corps quadratique imaginaire et sa puissance douzième présente des similarités avec celle d'un caractère provenant d'une courbe elliptique à multiplication complexe.