Abstract FR:

Nous étudions les structures de Poisson pour les hiérarchies d'équations de type KdV q-déformées. Après une introduction à la théorie de groupes de Lie-Poisson nous donnons un exposé des résultats des trois travaux de cette thèse. Dans le premier nous construisons par la méthode des transformations d'habillage formelles une famille d'équations de courbure nulle aux différences finies. Ces équations admettent la réduction par rapport à l'action d'un groupe de jauge et engendrent des équations de type KdV aux différences finies sur l'espace quotient. Dans le second travail nous définissons le (second) crochet de Gelfand-Dickey q-déformé sur l'algèbre d'opérateurs aux q-pseudo-différences. Nous en en prouvons l'unicité dans une classe naturelle des structures de Poisson quadratiques et montrons que ce crochet concorde avec les algèbres W q-déformés introduite par E. Frenkel et N. Reshetikhin. Puis, nous le généralisons au cas du groupe d'opérateurs aux q-pseudo-différences d'ordres complexes arbitraires. Cette construction, motivée par les résultats de B. Khesin et I. Zakharevich dans le cas différentiel, est basée sur "l'extension double" de l'algèbre d'opérateurs aux q-pseudo-différences associée au cocycle logarithmique. Dans le troisième article nous considérons la version q-déformée de la réduction de Drinfeld-Sokolov pour le cas de l'algèbre de matrices de dimension complexe ; cette construction généralise les résultats de B. Khesin et F. Malikov sur la réduction DS universelle. Pour décrire les crochets de Poisson compatibles avec la réduction nous utilisons la technique similaire à celle proposée antérieurement par E. Frenkel, N. Reshetikhin et M. Semeno-Tian-Shansky.