Réductibilité et résolubilité des équations aux différences finies
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Abstract EN:
Our aim is to give effective algorithms for factorizing and solving linear difference equations in closed form. Peter A. Hendriks and Michael F. Singer already defined Liouvillian solutions of such equations and gave an algorithm for computing such solutions. Their algorithm relies extensively Marko Petrovsek’s algorithm for computing hypergeometric solutions of a linear difference equation. One problem of that last algorithm is that it can imply a lot of computation in various extensions of the coefficient field of the equation. We start by introducing some generalities about the Galois theory of differential equations developed by Marius van der Put and Michael F. Singer and studying the notion of reducibility of a linear difference equation (or system) and its connections with the solution space. Adapting the ideas of Michael F. Singer, who studied these notions for differential equations, we give a definition of the Eigenring of an equation or system. That notion allows us to give a factorization algorithm for linear difference systems and an algorithm computing their Liouvillian solutions. For a large well-defined class of equations, we only need to compute rational solutions of auxiliary systems in their coefficient field. We sometimes need to compute hypergeometric solutions of an operator, but previous considerations will ensure us that even in that case, we do not need to extend its coefficient field. Our algorithm is illustrated by some examples.
Abstract FR:
Le but de cette thèse est de donner des algorithmes praticables de factorisation et de résolution des équations aux différences finies linéaires. Peter Hendriks et Michael Singer ont déjà donné une définition des solutions liouvilliennes d'une telle équation et un algorithme de recherche de ces solutions. Cet algorithme utilise intensément la recherche de solutions hypergéométriques de systèmes d'équations linéaires associés au moyen de l'algorithme de Petkov\v{s}ek. Ce dernier a pour inconvénient de pouvoir nécessiter de calculer dans diverses extensions du corps des coefficients apparaissant dans l'équation. Après avoir rappelé quelques généralités sur la théorie de Galois des équations aux différences finies linéaires et étudié la réductibilité d'une équation ou d'un système d'équations et son lien avec l'espace des solutions, nous introduisons, en suivant les idées déjà développées par Michael Singer pour les équations différentielles, la notion d'Eigenring d'un système. Cette notion nous permettra de donner un algorithme de factorisation d'un système d'équations aux différences finies linéaire et un algorithme de recherche des solutions liouvilliennes d'un opérateur qui se ramènent le plus possible à la recherche des solutions rationnelles à coefficients dans le corps considéré de systèmes d'équations différentielles associés. Dans certains cas, ils pourront nécessiter la recherche de solutions hypergéométriques, mais là aussi sans qu'il soit nécessaire de sortir de notre corps de base.